基础公理

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发布时间：2025-11-09 23:48

是策梅洛-弗兰克尔公理之一，也称为正则公理（Rubin 1967, Suppes 1972）。在集合论的形式语言中，它声明：

x!=emptyset=/p exists y(y in x ^ y intersection x=emptyset),

其中

=/p

表示蕴含，

exists

表示存在，

表示与，

intersection

表示交集，并且

emptyset

是空集（Mendelson 1997, p. 288）。更具描述性地，“每个非空集合都与其某个元素不相交。”

基础公理也可以表述为“一个集合不包含无限递降（隶属关系）序列”，或“一个集合包含一个（隶属关系）最小元素”，即，集合中存在一个元素，该元素与该集合不共享任何成员（Ciesielski 1997, p. 37; Moore 1982, p. 269; Rubin 1967, p. 81; Suppes 1972, p. 53）。

Mendelson（1958）证明，这两个陈述的等价性必然依赖于选择公理。对偶表达式称为

epsilon

-归纳法，并且与公理本身等价（Itô 1986, p. 147）。