在日常用法中，序数是一个形容词，用来描述物体在数字上的位置，例如，第一，第二，第三等。
在形式集合论中，序数（有时简称“序”）是格奥尔格·康托尔对全体自然数的扩展中的一种数。序数被定义为良序集的序类型 (Dauben 1990, p. 199; Moore 1982, p. 52; Suppes 1972, p. 129)。有限序数通常用阿拉伯数字表示，而超限序数则用小写希腊字母表示。
很容易看出，每个有限全序集都是良序的。任何两个具有
![k]()
个元素（其中
![k]()
为非负整数）的全序集都是序同构的，因此具有相同的序类型（这也是一个序数）。有限集的序数表示为 0, 1, 2, 3, ..., 即比相应的非负整数小 1 的整数。
第一个超限序数，用
![omega]()
表示，是非负整数集合的序类型 (Dauben 1990, p. 152; Moore 1982, p. viii; Rubin 1967, pp. 86 and 177; Suppes 1972, p. 128)。这是康托尔超限数中“最小”的，定义为大于全体自然数的序数的最小序数。 Conway 和 Guy (1996) 使用符号
![omega={0,1,...|}]()
表示它。
根据序数比较的定义，可以得出序数是一个良序集。按照递增的大小顺序，序数是 0, 1, 2, ...,
![omega]()
,
![omega+1]()
,
![omega+2]()
, ...,
![omega+omega]()
,
![omega+omega+1]()
, .... 序数的表示法可能有点违反直觉，例如，即使
![1+omega=omega]()
,
![omega+1/pomega]()
。可数序数集合的基数用
![aleph_1]()
(aleph-1) 表示。
如果
![(A,=)]()
是一个序数为
![alpha]()
的良序集，那么所有小于
![alpha]()
的序数的集合与
![A]()
序同构。这提供了将序数定义为所有小于它自身的序数的集合的动机。约翰·冯·诺伊曼将集合
![alpha]()
定义为序数，当且仅当
1. 如果
![beta]()
是
![alpha]()
的元素，则
![beta]()
是
![alpha.]()
的真子集。
2. 如果
![beta]()
和
![gamma]()
是
![alpha]()
的元素，则以下情况之一为真：
![beta=gamma]()
,
![beta]()
是
![gamma]()
的元素，或者
![gamma]()
是
![beta]()
的元素。
3. 如果
![beta]()
是
![alpha]()
的非空真子集，则存在
![gamma]()
属于
![alpha]()
，使得交集
![gamma intersection beta]()
为空。
(Rubin 1967, p. 176; Ciesielski 1997, p. 44)。这是序数的标准表示。在这种表示中，
符号 元素 描述
0 ![{}]()
空集 1 ![{0}]()
单元素集合 2 ![{0,1}]()
双元素集合 3 ![{0,1,2}]()
三元素集合 ![|]()
![omega]()
![{0,1,2,...}]()
所有有限序数的集合 ![omega+1]()
![{0,1,2,...,omega}]()
![|]()
![omega_1]()
所有可数序数的集合 ![|]()
![omega_2]()
所有可数和 ![aleph_1]()
序数的集合 ![|]()
![omega_omega]()
所有有限序数和所有非负整数 ![k]()
的 ![aleph_k]()
序数的集合 ![|]()
Rubin (1967, p. 272) 提供了
![omega_alpha]()
序数的清晰定义。
由于对于任何序数
![alpha]()
，并集
![alpha union {alpha}]()
是一个更大的序数
![alpha+1]()
，所以不存在最大的序数，因此所有序数的类是一个真类（如 Burali-Forti 悖论所示）。
序数还有一些其他相当奇特的性质。两个序数的和可以取两个不同的值，三个序数的和可以取五个值。这个序列的前几项是 2, 5, 13, 33, 81, 193, 449,
![33^2]()
,
![33·81]()
,
![81^2]()
,
![81·193]()
,
![193^2]()
, ..., 即 2, 5, 13, 33, 81, 193, 449, 1089, 2673, 6561, 15633, 37249, ... (Conway 和 Guy 1996, OEIS A005348)。对于
![n/p=15]()
，
![n]()
个序数的和有
![193^a81^b]()
或
![33·81^a]()
种可能的答案 (Conway 和 Guy 1996)。
![r×omega]()
与
![omega]()
相同，但
![omega×r]()
等于
![omega+...+omega_()_(r)]()
。
![omega^2]()
大于任何 of the form
![omega×r]()
形式的数，
![omega^3]()
大于
![omega^2]()
，依此类推。
存在一些序数，它们不能通过较小的序数的有限次加法、乘法和指数运算构造出来。这些序数服从康托尔方程。第一个这样的序数是
![epsilon_0=omega^(omega^(·^(·^(·^omega))))_()_(omega)=1+omega+omega^omega+omega^(omega^omega)+....]()
下一个是
![epsilon_1=(epsilon_0+1)+omega^(epsilon_0+1)+omega^omega^(epsilon_0+1)+...,]()
然后是
![epsilon_2]()
,
![epsilon_3]()
, ...,
![epsilon_omega]()
,
![epsilon_(omega+1)]()
, ...,
![epsilon_(omega×2)]()
, ...,
![epsilon_(omega^2)]()
,
![epsilon_(omega^omega)]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_0)]()
,
![epsilon_(epsilon_0+1)]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_0+omega)]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_0+omega^omega)]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_0×2)]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_1)]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_2)]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_omega)]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_(epsilon_0))]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_(epsilon_1))]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_(epsilon_omega))]()
, ...,
![epsilon_(epsilon_(epsilon_(epsilon_0)))]()
, ... (Conway 和 Guy 1996)。
序数加法、序数乘法和序数指数运算都可以被定义。尽管这些定义对于序类型也完全适用，但这似乎并不常用。通常有两种方法来定义序数上的运算：一种是使用集合，另一种是归纳法。
